Super-Kamiokande 与 MACRO 对来自 PSR B1509-58 的高能中微子空间重合的联合显著性分析

Shantanu Desai* Department of Physics, Indian Institute of Technology, Hyderabad, Kandi, Telangana-502285, India (日期：2022年6月27日)

在对高能中微子天体物理点源的搜索中，Super-Kamiokande 和 MACRO 中微子探测器均在同一源处观测到了最大的角过量，即 PSR B1509-58。我们估算了 Super-Kamiokande 和 MACRO 观测到的事件数是由大气中微子背景引起的偶然重合的概率。我们发现该概率约为 0.4%，对应于 $2.6\sigma$ 的显著性。我们还提出了一些额外的测试，以确定该过量是对应于天体物理信号还是仅仅是背景事件。

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I. 引言

在电磁天文学中，有许多例子表明，通过结合多个望远镜的数据，而不是仅使用单个望远镜的数据，可以从给定源的天文观测中获得更多的科学成果。展示结合多个望远镜数据威力的非详尽列表包括：甚长基线干涉测量（VLBI）[1]、光学干涉测量 [2]、事件视界望远镜（EHT）拍摄的 M87 黑洞图像 [3]、以及即将到来的 CTA 等探测器的 TeV 伽马射线天文学 [4] 等。

在全球范围内建造多个地面干涉引力波探测器的主要原因，是为了与仅使用单个探测器的数据相比，提高探测显著性并获得更好的指向精度 [5, 6]。对纳赫兹（nanoHz）引力波的搜索也正在通过汇集多个射电望远镜的数据来完成 [7]。最近，Oyama [8] 展示了结合多个中微子探测器数据的威力，并表明与分别分析每个探测器的数据相比，使用 Kamiokande 和 IMB 探测器对来自 SN1987A 的向上缪子的探测显著性得到了增强（$2.8\sigma$）。

在这项工作中，我们尝试结合另外两个中微子探测器，即 MACRO 和 Super-Kamiokande（以下简称 Super-K）的数据，以联合评估两个探测器对 PSR B1509-58 的探测显著性。Super-K 在 1996 年 4 月至 2001 年 7 月的实验第一阶段中，利用向上缪子对 GeV 到 TeV 能区的天体物理中微子进行了多次搜索 [9–13]，以补充其在大气和太阳中微子方面的其他突破性成果 [14]。大约在同一时间，MACRO 探测器也利用 1989 年至 2000 年的数据，在 GeV-TeV 能区对天体物理中微子点源进行了搜索 [15, 16]。两个探测器的向上缪子均由高能中微子在探测器周围的岩石中发生带电电流相互作用产生。Super-K 和 MACRO 具有相似的缪子能量阈值（$\sim 1 \text{ GeV}$）、角分辨率（$\sim 1^\circ$）、有效面积（$\sim 1000 \text{ m}^2$），且在北半球的纬度几乎相同（Super-K 为 $36^\circ$，MACRO 为 $42^\circ$）。因此，它们对南天同一区域 GeV-TeV 能区的天体物理中微子具有相似的灵敏度。两个探测器在 1996 年 7 月至 2000 年 12 月期间也有四年的重叠期。

尽管 Super-Kamiokande 和 MACRO 均未探测到来自任何天体物理源的统计学显著的向上缪子过量，但两个探测器在半角为 $3^\circ$ 的锥体内均观测到了来自同一天体物理源的最大过量，即 PSR B1509-58 [9, 16]（亦见 T. Montaruli，2006 年私人通讯）。源 PSR B1509-58 是一颗脉冲星，其赤经（RA）为 15:13:55.8（时:分:秒），赤纬（DEC）为 $-59.14^\circ$，距离为 4.4 kpc（参见 ATNF 脉冲星目录 v1.66 [17]）。在这项工作中，我们讨论在使用这两个探测器的数据后，探测显著性是否得到增强。对于我们的分析，我们使用了与 Oyama [8] 相同的方法。

本手稿结构如下：我们的分析和结果在第二节中讨论。第三节包含对结果的讨论。我们在第四节得出结论。

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II. 分析

A. Super-K 结果

Super-K 在 1996 年 4 月至 2001 年 7 月的实验第一阶段中，利用探测到的 2359 个向上缪子事件，对 52 个不同的源进行了天体物理中微子点源搜索，缪子能量阈值为 1.6 GeV [9]。向上缪子样本由 1892 个穿透型缪子和 467 个停止型缪子组成。在 1892 个穿透型缪子中，318 个是簇射穿透型缪子事件，其余为非簇射事件 [12]。未从任何源中观察到统计学显著的过量。然而，对于 PSR B1509-58，在半角为 $3^\circ$ 的锥体内观察到了最大的过量，总计 6 个信号事件，而预期的大气中微子背景为 2.8 个事件。对于 $E^{-2}$ 的中微子谱，该锥体包含了 90% 的信号 [16]。考虑到该背景，获得大于或等于观测事件数的泊松概率等于：

$1 - \sum_{i=0}^{5} \text{Pois}(i|2.8)$

其中 $\text{Pois}(i|2.8)$ 是背景为 2.8 且均值为 $i$ 的泊松概率质量函数（完整表达式见表 I）。上述泊松概率等于 0.065。考虑到 Super-K 搜索了 52 个源，因此将 0.065 乘以 52 以计入试验因子（trials factors），可以发现该涨落与背景一致。Super-K 还利用来自同一源的向上簇射缪子子集进行了搜索 [12]。在这种情况下，同一锥体内观测到的簇射缪子数为 1，对应于 0.4 个事件的背景 [12]，表明不存在显著过量。

B. MACRO 结果

MACRO 对天体物理搜索的结果分别于 [15]（1989 年 3 月至 1999 年 9 月）和 [16]（至 2000 年 12 月）中给出。最终搜索使用了 1388 个向上缪子。在 $3^\circ$ 半角锥体中，最大的过量再次出现在 PSR B1509-58，总计 10 个事件，而预期的大气背景为 2 个事件。给定该背景，获得大于或等于观测事件数的泊松概率等于：

$1 - \sum_{i=0}^{9} \text{Pois}(i|2)$

其结果为 $4.6 \times 10^{-5}$。

计入试验因子在这里稍微有些棘手，因为截至 2000 年 12 月完整分析所搜索的中微子源总数并未明确说明 [16]。截至 1999 年 9 月的分析共搜索了 42 个天体物理点源 [15]。最终分析认为，为了计入试验因子，需要考虑所有 1388 个探测到的向上缪子周围的事件方向 [16]。我们将上述概率乘以相同的试验因子 1388，得出其为偶然涨落的最终概率为 0.064。根据 [18] 中的规定，这对应于仅 $1.5\sigma$ 的 Z 分数统计显著性，这是不显著的。

C. 联合分析结果

Super-K 和 MACRO 对 PSR B1509-58 的搜索结果总结在表 I 中。我们现在结合两个探测器的探测概率，以估算联合显著性。由于 MACRO 和 Super-K 的搜索是独立进行的，我们可以假设联合概率是各个概率的乘积，因为结果彼此独立。我们使用与最新 MACRO 结果 [16] 中相同的试验因子 1388。由于 Super-K 和 MACRO 对南天几乎同一区域敏感，我们假设 MACRO 使用的 1388 的试验因子包含了 Super-K 搜索的所有源。因此，Super-K 和 MACRO 在 PSR B1509-58 方向上的中微子事件均为偶然涨落的最终概率由各个概率与所用试验因子的乘积给出：

$P = 0.065 \times 4.6 \times 10^{-5} \times 1388 = 4.1 \times 10^{-3}$

因此，联合探测显著性概率等于 0.4%，根据 [18] 中的规定，对应于 $2.6\sigma$ 的 Z 分数显著性。

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表 I： Super-K（1996-2001 年第一阶段）和 MACRO（使用 1989-2000 年数据）探测到的来自 PSR B1509-54 的向上缪子事件数。第一列表示所使用的中微子探测器。第二列显示在 $3^\circ$ 锥体半角内观测到的向上缪子事件。第三列表示同一角区域内的大气中微子背景。计算过程和泊松概率 $N \geq N_{sig}$ 显示在最后两列中。泊松分布函数 $\text{Pois}(N|\mu)$ 由 $\frac{\mu^N e^{-\mu}}{N!}$ 给出。

探测器	信号	背景	计算	概率 ($N \geq N_{sig}$)
Super-K	6	2.8	$1 - \sum_{i=0}^{5} \text{Pois}(i	2.8)$
MACRO	10	2	$1 - \sum_{i=0}^{9} \text{Pois}(i	2)$

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D. 可能的系统误差

因此，表面上看，在结合 MACRO 和 Super-K 在 PSR B1509-58 方向上的向上缪子数据后，联合统计显著性为 $2.6\sigma$。在此，我们讨论可能未计入我们分析中，但可能降低统计显著性的系统误差。Super-K 探测到三种向上缪子。尽管所有三种缪子的角分辨率大致相同，即 $1.4^\circ$（簇射）、$1.3^\circ$（非簇射穿透）、$2.4^\circ$（停止）[12]，但母中微子与重建的向上缪子之间的平均角度在不同样本间变化很大。对于向上停止缪子，大气中微子谱的平均分离度约为 $8.7^\circ$，而对于非簇射和簇射穿透缪子，该值分别约为 $2.1^\circ$ 和 $2.9^\circ$。因此，根据 Super-K 中看到的 6 个向上缪子中有多少是停止缪子，统计显著性可能会降低，人们可能需要考虑更大的锥角。目前唯一可用的信息（来自已发表的 Super-K 数据）是，在 6 个观测事件中，有一个事件是向上簇射缪子 [12]。

Super-K 样本的另一个可能的系统误差是，所有三种 $\cos(\theta) > -0.1$（其中 $\theta$ 是向上缪子天顶角）的向上缪子，由于多重库仑散射和拟合器的有限角分辨率，都受到来自地平线的向下缪子的污染 [12]。尽管在振荡分析中可以统计地估算该背景并将其减去 [12]，但在天体物理搜索期间，无法逐个事件地剔除此类近地平线缪子。对于使用 Super-K-1 数据进行的天体物理搜索，在所进行的无数次天体物理搜索中，对 $\cos(\theta) > -0.1$ 的向上缪子应用了加权因子 [9–12]。如果 6 个 Super-K 事件中有任何一个具有 $\cos(\theta) > -0.1$，那将降低我们结果的统计显著性。同样，这 6 个 Super-K 事件的天顶角分布并未公开。

对于选择用于天体物理搜索的 MACRO 向上缪子样本，与振荡分析不同，没有对缪子必须穿过的最小物质总量施加限制 [15]。因此，该样本中可能存在来自光致产生介子的残留污染 [19]。此外，如 [15] 中所讨论的，MACRO 数据集还包含在探测器下半部分具有相互作用顶点的事件，从而增加了可能的背景事件数量。与 Super-K 类似，基于公开信息，无法评估在脉冲星方向上看到的任何 MACRO 向上缪子是否为上述背景事件。如果能确定 10 个事件中有任何一个不是中微子诱导的，那将再次降低本研究中估算的联合统计显著性。

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III. 讨论

因此，我们发现 Super-K 和 MACRO 将观测到的事件视为背景涨落的概率约为 0.41%，对应于 $2.6\sigma$ 的显著性。尽管这没有通过高能物理中的 $5\sigma$ 发现标准 [20]，但我们提出了一些额外的测试，可以进行这些测试以确定 Super-K 和 MACRO 是否确实探测到了来自 PSR B1509-58 的天体物理中微子。

天体物理点源有两种类型：稳态源和瞬态源。长期以来，脉冲星一直被认为是高能中微子的潜在源 [21]。我们还注意到，如果质子能被加速到 1 PeV [22]，已经有人提出了来自 PSR B1509-58 的稳态中微子发射的理论模型，尽管在 MACRO/Super-K 尺寸的探测器中事件率可以忽略不计，因为 [22] 中的模型获得的事件率仅为 $\sim 5 \text{ 事件/km}^2/\text{年}$。然而，如果 PSR B1509-58 是一个稳态中微子源，那么人们本应预期 Super-K 的统计显著性会随着曝光量的增加而累积。Super-K 仍在采集数据。尽管该脉冲星没有后续结果，但 2001 年 7 月之后 Super-K 对天体物理中微子的后续搜索并未发现任何点源的统计显著过量 [23, 24]。北半球的其他向上缪子探测器（如 ANTARES 或 Baikal）也没有看到来自该脉冲星方向的统计显著过量 [25, 26]。尽管 IceCube 探测器位于南半球，但它对来自 PSR B1509-52 方向的 TeV 中微子敏感，且未报告统计显著过量 [27]。

另一种可能性是该脉冲星是天体物理中微子的瞬态源。我们注意到，1997 年 Cangaroo 大气切伦科夫望远镜探测到了来自该脉冲星的 TeV 伽马射线耀斑（$4.1\sigma$）。因此，如果该 TeV 耀斑是由任何强子加速机制产生的，那么在耀斑的同时也会观测到来自介子衰变的伴随中微子。因此，人们可以利用 MACRO 和 Super-K 探测器围绕该 TeV 耀斑进行时间搜索。然而，与 Oyama [8] 不同，由于 Super-K 和 MACRO 的向上缪子数据集都是专有的，且向上缪子数据集的 MJD（或观测到的 RA、DEC）未公开，因此无法利用公开数据进行时间搜索。此类搜索只能由两个合作组共同完成。另一种可能性是与 Baksan 中微子望远镜进行联合搜索，该望远镜位于与 Super-K 和 MACRO 大致相同的纬度，并且对与 Super-K/MACRO 具有相似能量阈值的向上缪子敏感。Baksan 自 1977 年以来一直在采集数据 [28]，并且至今仍在运行 [29]。如果 Baksan 探测器也看到了来自该源的过量，那将非常有趣。尽管如此，进行时间搜索以补充当前的分析非常重要，这独立于从该脉冲星观测到的任何电磁瞬态耀斑或任何理论模型的偏见。

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IV. 结论

Super-K 和 MACRO 已经利用 GeV-TeV 能区高能中微子产生的向上缪子，对天体物理中微子点源进行了搜索。尽管两个探测器均未探测到天体物理源，但一个有趣的观察结果是，两个探测器均在同一天体物理源（即 PSR B1509-58）处看到了最大的过量（来自全天搜索，在 $3^\circ$ 角区域内）。然而，当分别分析每个数据集时，该过量的显著性可以忽略不计。我们尝试使用公开数据，评估 MACRO 和 Super-K 在 PSR B1509-58 周围上述角区域内探测到的向上缪子是背景涨落的联合概率。我们遵循了 Oyama [8] 的相同规定，他结合了 IMB 和 Kamiokande 探测器的数据，以评估 SN 1987A 向上缪子探测的联合显著性。

我们估算 Super-K 和 MACRO 看到的偶然重合事件为大气中微子背景涨落的概率为 0.41%。这对应于 $2.6\sigma$ 的 Z 分数显著性，因此，当结合 Super-K 和 MACRO 的数据时，探测显著性得到了增强。我们还讨论了 Super-K 和 MACRO 向上缪子数据集中潜在的系统误差来源，这些误差可能会降低上述显著性。

我们还论证了为什么该源不可能是高能天体物理中微子的稳态源，因为如果它是稳态源，其他探测器（包括 Super-K）在增加曝光量后本应看到该信号。为了确定 PSR B1509-58 是否是天体物理中微子的瞬态源，需要通过利用 MACRO 和 Super-K 向上缪子事件的观测到达时间进行时间搜索来扩展此分析。另一种可能性是包括 Baksan 中微子探测器的数据，该探测器在 MACRO 和 Super-K 的重叠期间也在采集数据。

许多新的 GeV 中微子探测器，如 DUNE [30]、INO [31]、JUNO [32]、PINGU [33]、Hyper-K [34] 等，很快将上线并开始采集数据。电磁和引力波天文学的历史表明，与分别分析每个探测器相比，结合多个探测器的数据有助于我们了解更多关于源物理的知识。我们希望这一经验教训可以在未来十年通过结合不同中微子探测器的数据，扩展到中微子天体物理学中。

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致谢

我感谢 Teresa Montaruli（约 15 年前）向我指出 Super-K 和 MACRO 在同一源处看到了最大的过量，即 PSR B1509-58，并感谢 John Beacom 随后对此进行的讨论。我感谢 Super-Kamiokande 向上缪子组的所有同事（特别是 Alec Habig）多年来富有成效的讨论。我们也感谢匿名审稿人对本工作提出的有益建设性反馈。